자연이 만드는 패턴 프랙탈, 프랙탈 구조에 관한 세특 심화 탐구 주제 ( 고등 수학,수1, 물리, 기하, 정보, 프로그래밍 학생부)

자연이 만드는 프렉탈 탐구주제

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프랙탈은 자연이 만들어낸 가장 아름다운 패턴입니다. 사람은 자연의 구조에 가장 친숙하기 때문에 기하학적 패턴인 프랙탈에 많은 관심을 갖습니다. 디자인적 요소로 프랙탈 패턴을 사용하기도 하며, 자연이 만들어낸 패턴 프랙탈을 구조적으로 해석하기 위해 많은 시간과 노력을 투자하기도 합니다. 고등학생들 또한 프랙탈에 관한 다양한 탐구 주제를 생각해 볼 수 있습니다. 전 세계 고등학생들의 물리 탐구 대회인 2023년 IYPT의 첫 번째 주제 제목이 Fractal Fingers입니다. IYPT의 주제는 다음과 같습니다.

 

The effect of fractal fingering can be observed if a droplet of an ink-alcohol mixture is deposited onto diluted acrylic paint. How are the geometry and dynamics of the fingers influenced by relevant parameters?

 

Fractal Fingers 실험 사진

 

주제를 번역하면 잉크-알코올 혼합액을 작은 물방울로 아크릴 물감에 떨어뜨리면 이 프랙탈 손가락 모양을 관측할 수 있다고 합니다. 이 프랙탈 손가락의 기하학과 역학적 요인이 무엇인지 조사하는 것이 주제입니다. 이 주제에서 핵심적으로 물어보고자 하는 요소는 다음과 같습니다.

1. 프랙탈 손가락 모양을 형성하는 물리적인 요인은 무엇인가? 어떤 힘이 작용하는가?
2. 왜 잉크-알코올 혼합액을 아크릴 물감에 떨어뜨릴 때 나타나는가?
3. 패턴의 크기가 어떤 요인에 의하여 결정되는가?

*참고 영상입니다.

APS Physics의 Fast fractal fingering in fructose fluids란 영상입니다.

  Fractal Fingers 실험 영상

정말 어렵죠? 관련된 심화 탐구 주제는 프랙탈에 대하여 먼저 설명한 후 다시 정리해 보겠습니다. 우선 프랙탈에 관하여 공부해보겠습니다.

 

 

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1. 프랙탈이란?

프랙탈이란 수학 특히 기하학의 연구 분야 중 하나로 일부 작은 조각이 전체와 비슷한 형태 즉 자기 유사성을 갖는 기하학적 형태를 의미합니다. 프랙탈이란 용어는 1975년 브누아 망데블로가 정의하였지만 프랙탈 개념 자체는 이 전부터 연구되었습니다. 특히 유명한 수학자 가문인 베르누이 가문의 야코프 베르누이가 로그함수를 극좌표로 표현하면 자기 유사성을 띠는 나선을 모양이 된다는 것을 발견했습니다. 이처럼 프랙탈 구조는 자연물에서 패턴을 보았지만 수학적 분석, 위상 공간에 나타나는 운동모형, 생태학적 계산 등 다양한 분야에서 사용되는 자연이 가지는 기본적인 구조입니다. 불규칙하며 혼란스러워 보이지만 이것을 지배하는 규칙을 찾을 수 있습니다. 복잡계(카오스이론) 과학은 이 불규칙한 자연의 복잡성을 연구하여 그 안에 질서를 찾아내는 학문인데 이 복잡성을 대표하는 카오스 이론에도 프랙탈로 표현될 수 있는 규칙이 나타납니다. 또한 수학적 도형으로 기하학적 연구 이외에도 프로그래밍에서 재귀함수 또는 반복적인 패턴에서도 프랙탈의 의미가 적용됩니다. 즉 프랙탈은 과학, 공학, 컴퓨터, 예술 등 다양한 분야에서 적용되는 재미있는 탐구 주제입니다.

 

 

 

 

2. 자연에서 찾을 수 있는 프랙탈 구조

 

2-1. 번개

Lightning in Zdolbuniv

 

번개는 마치 계단을 내려가는 듯이 반복해서 방전됩니다. 번개의 현상을 물리적으로 모델링하고 해석하는 탐구주제 또한 의미 있는 탐구주제로 볼 수 있습니다. 리처드 파인먼의 빨간색 책을 보면 번개의 방출 과정에 대하여 물리적으로 잘 설명이 되어있는데 가장 단순하게 번개 구름의 도체를 가정하고 단계적인 구조를 설명한 후 번개가 프랙탈 구조를 보인다는 것을 같이 보인다면 정말 좋은 주제의 보고서를 작성할 수 있을 것이라 판단됩니다!

2-2. 비스무트(Bi), 창연

Bismuth 광석

 

비스무트 광석은 창연이라 불리는 광석입니다. 원소 번호 83번 물질로 6주기의 15족 원소입니다. 비스무트 광석은 자연에서 이런 프랙탈 패턴을 가집니다. 이런 아름다운 광석은 합금으로 많이 쓰이는데 낮은 온도에서 녹는다는 성질을 이용하여 안전 플러그에 많이 사용됩니다. 또한 비스무트는 원자로에도 쓰입니다. 비스무트는 중성자를 쉽게 흡수하지 않기 때문에 방사성 연료를 원자로 중심으로 운반하는 데 사용합니다. 이 외에도 비스무트 화합물은 의약품이나 화장품에서도 많이 사용됩니다. 비스무트의 프랙탈 구조와 원자의 구조적 특징을 설명해보는 보고서를 작성해보면 어떨까요? 화학, 수학, 물리 분야에서 깊이 있는 탐구 주제로 사용할 수 있습니다.

2-3. 로마네스크 브로콜리

Romanesco Vegetables Brassica Oleracea Cauliflower

 

로마네스크 브로콜리는 꽃봉오리가 뾰족한 프랙탈 모양을 만듭니다! 요즘은 근처 마트에서도 판매하는 주변에서 가장 쉽게 볼 수 있는 자연이 만드는 프랙탈 구조라 할 수 있습니다. 직접 크기별로 잘라서 프랙탈 구조를 관찰할 수 있을 거 같네요. 프랙탈 관련 탐구주제를 잡을 떄 하나의 소재로 사용할 수 있을 거 같습니다. 특히 고등학교 수학1, 수1 과목에서 등비수열을 배우는데 등비수열과 연결하여 주제 보고서를 작성하고 실제로 로마네스크 브로콜리를 잘라 수학적 계산을 한다면 의미 있는 탐구 보고서가 될 것입니다.

2-4. 프랙탈 나무

tomorrowsworldtoday.com 용피나무

프랙탈 나무

 

 용피나무는 프랙탈 나무의 대표적인 예시입니다. 자연이 만든 프랙탈 패턴의 나무를 프로그래밍을 활용하여 해석할 수 있습니다. C언어, C++, JAVA, Python 등 다양한 언어들은 프로그래밍 언어에서 사용하는 함수 구조가 비슷한 게 많습니다. 특히 재귀함수란 함수는 동일한 함수가 반복해서 호출되는 무한의 형상을 하는 함수입니다. 이 함수의 패턴 또한 프랙탈 패턴과 매우 유사하고 재귀함수를 이용하여 프랙탈 나무를 GUI 프로그래밍으로 구현할 수 있습니다. 파이썬 언어를 활용하여 구현하는 것을 가장 추천해 드립니다. 왜냐하면 파이썬을 이용한 기본 함수는 쉽기 강력하기 때문입니다. 이 프랙탈 나무를 해석하며 재귀함수와 프랙탈 패턴을 공부하는 주제는 컴퓨터공학과를 원하는 학생들에게 적합한 주제입니다!

 

3. 심화 탐구 주제 정리

1. 번개가 일어나는 과정 물리학적 해석과 번개의 프랙탈에 관하여 - 물리학과, 수학과 순수자연과학 계열 학생들에게 흥미를 주는 주제라 생각됩니다.
2. 비스무트 광석의 결정 구조에 관하여 프랙탈 구조를 갖는 이유, 구조적 해석, 자연이 갖는 구조안정성과 프랙탈 - 물리학과, 화학과, 수학과 등 마찬가지로 순수자연과학 계열 학생들이 사용하면 좋은 탐구 주제입니다.
3. 로마네스크 브로콜리의 프랙탈 패턴을 등비수열로 해석하기 - 수학과를 지원하는 학생들이 해볼 법한 주제입니다!
4. 프랙탈 핑거스 (2023 IYPT 주제) - 물리학과, 화학과, 수학과 등 순수과학계열 학생들이 주제를 탐구하여 분석하면 임팩트 있는 심화 탐구 주제로 가져갈 수 있습니다.
5. 재귀 함수를 이용한 프랙탈 트리 GUI 구현 - 컴퓨터공학과, 소프트웨어학과, 전자정보통신학과 등 프로그래밍이 중요한 공학계열 학생들에게 추천하는 탐구주제로 수학과 프로그래밍을 연결하여 쓸 수 있는 탐구주제입니다.

프랙탈은 수학, 과학, 예술 분야에서 정말 많이 사용해 볼 수 있고 프로그래밍과도 연결해 볼 수 있어 인상깊은 주제라 생각합니다.

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